Geometri merupakan bagian Matematika yang membicarakan titik, garis, bidang, ruang dan keterkaitan satu sama lainnya, sebagaimana diungkapkan oleh Stein (1980) berikut ini:Geometry is the study of points, lines, planes, and space, of measurement and construction of geometric figures, and of geometric facts and relationships. The word “geometry” means “earth measure.” (Stein, 1980: 392).
Menurut Stein, objek Geometri bersifat abstrak. Hal ini tampak jelas pada pendapatnya tentang, titik, garis, bidang, dan ruang. Perhatikan misalnya penjelasannya tentang “ruas garis”, berikut ini: “… A definite part of a line has length but no width or thickness. We cannot see a geometric line.” Akibatnya, pengajaran Geometri di sekolah memerlukan kompetensi dan semangat guru yang memadai.
Rabu, 06 April 2011
barisan dalam geometri
- BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
- DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
- Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
- Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1 - Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0 - Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
- Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
- Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
- DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
.
.
.
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0.
.
.
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awalMn = Modal setelah n periodep = Persen per periode atau suku bungan = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
silabus
SILABI MATA KULIAH
Program Studi : Pendidikan Matematika
Kode Mata Kuliah : 109202
Nama Mata Kuliah : Geometri Bidang
Jumlah sks : 2 sks
Semester : 1 ( satu )
Mata Kuliah Pra Syarat : -
Deskripsi Mata Kuliah :
1.Pengertian pangkal,aksioma dan definisi 2.Pengertian dan kedudukan antara titik, garis dan bidang.3.Pengertian sudut dan macam-macam sudut.4.Beberapa macam bangun datar 5.Pengertian segitiga dan macam segitiga berdasarkan sudut. 6.Garis-garis istimewa dalam segitiga dan Dalil Stewart 7.Transversal garis (Dalil Menelaos ) dan Transversal Sudut ( De Ceva ).8.Similaritas dan Kongruen.9.Segi Banyak Beraturan.10.Lingkaran dan bagian-bagiannya.11.Garis singgung lingkaran 12. Melukis segitiga dan lingkaran .
Standard Kompetensi
Mahasiswa dapat mendefinisikan, mengetahui, memahami dan mampu mengimplementasikan konsep-konsep geometri bidang dalam aktivitas pendidikan dan pembelajaran guna mencapai tujuan pendidikan dan pembelajaran secara efektif dan efisien.
Kompetensi Dasar | Indikator | Pengalaman Pembelajaran | Materi Ajar | Waktu | Alat/bahan/sumber Belajar | Penilaian |
1. Memahami Pengertian pangkal,aksioma dan definisi | Setelah mengikuti perkuliahan mahasiswa diharapkan mampu : 1.Menjelaskan pengertian pangkal 2.Menjelaskan pengertian definisi 3.Menjelaskan simbol-simbol atau notasi | 1Mengkaji tentang pangkal ,relasi pangkal dan aksioma 2.Menggunakan simbol-simbol atau notasi dengan tepat 3.Mengetahui definisi yang ada dalam geometri bidang | Pengertian pangkal,relasi pangkal ,axioma dan definisi | 100‘ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geometri-Sujadi Geometri –Haryono DW | Tugas Portofolio Tes essay |
2. Memahami pengertian dan kedudukan antara titik, garis dan bidang | Setelah mengikuti perkuliahan mahasiswa diharapkan mampu 1.menggambarkan titik 2. membedakan garis,sinar garis,garis berarah, ruas garis 3. membedakan bidang dan sisi | Mengkaji konsep titik, macam-macam garis dan bidang. Mengganbar titik, garis dan bidang | Pengertian dan kedudukan titik, garis dan bidang | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geometri-Sujadi Geometri-Haryono DW | Tugas Portofolio Tes essay |
3. Memahami pengertian sudut dan macam-macam sudut.. | Setelah mengikuti perkuliahan ini,mahasiswa diharapkan mampu : 1.menjelaskan pengertian. sudut dan macam-macam sudut 2.menjelaskan hubungan antara dua sudut | Mengkaji dan mendiskusikan tentang sudut dan macam-macam sudut.. | sudut dan macam-macam sudut.. | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geometri-Sujadi Geometri-Haryono | Tugas Portofolio Tes essay |
4. Memahami beberapa macam bangun datar | Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu : Menjelaskan beberapa bentuk bangun datar | Mengkaji dan mendiskusikan beberapa macam bangun datar | Bangun datar | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi Ilmu Ukur Melukis | Tugas Portofolio , Melukis sudut. tes essay |
5. Memahami. Pengertian segitiga dan macam segitiga berdasarkan sudut | Setelah mengikuti perkuliahan ini,mahasiswa diharapkan mampu : Menjelaskan pengertian segitiga. dan macam segitiga berdasarkan besarnya sudut | Mengkaji pengertian segitiga dan macam-macam bentuknya berdasarkan pada perbedaan besar sudut | Segitiga dan bentuk segitiga | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
6. Memahami Garis-garis istimewa dalam segitiga dan Dalil Stewart | Setelah mengikuti perkulihan ini, diharapkan mahasiswa mampu : Membedakan pengertian garis berat, garis bagi, garis tinggi dan garis sumbu. Mengetahui sifat-sifat keempat garis istimewa tersebut. Menjelaskan dalil Stewart | Melukis garis bagi Melukis garis berat Melukis garis sumbu Melukis garis tinggi Menghitung panjang garis istimewa dalam segitiga Menggunakan dalil Stewart | Garis istimewa dalam suatu segitiga dan cara melukisnya | 2 X 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi Ilmu Ukur Meluks | Tugas Portafolio Tes essay Melukis garis-garis istimewa |
7. Memahami Transversal garis (Dalil Menelaos ) dan Transversal Sudut ( De Ceva | Setelah mengikuti perkulihan ini, diharapkan mahasiswa mampu menjelaskan: 1.Sifat-sifat transversal garis 2.Sifat-sifat transversal sudut | 1.Mengkaji pengertian transversal garis dan transversal sudut 2.Menggambar transversal garis dan transversal sudut | Transversal garis dan transversal sudut | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
8. Memahami Similaritas dan kongruen 2 buah bangun datar | Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan 1.Similaritas dua buah bangun datar . 2.Kongruensi dua buah bangun datar | Mengkaji pengertian Similaritas dan kongruensi dua buah bangun datar | Similaritas dan kongruensi | 2X100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
9. Memahami segi banyak beraturan.. | Setelah mengikutiperkuliahan ini, diharapkan mampu menggambarkan segi banyak beraturan.. | 1Mengkaji dan mendiskusikan segi banyak 2. Menggambar segi banyak beraturan | Segi banyak beraturan.. | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
10. Memahami Lingkaran dan bagian-bagiannya. | Setelah mengikuti perkuliahan ini, diharapkan mampu 1.Mendefinisikan Lingkaran Menjelaskan pengertian a.sudut dalam lingkaran b.busur ctali busur, d.juring e.tembereng | Mengkaji dan mendiskusikan Lingkaran,sudut dalam lingkaran,busur,tali busur,juring dan tembereng | Lingkaran | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
11. Memahami. garis singgung lingkaran | Setelah mengikuti perkuliahan ini, diharapkan mampu menjelaskan Garis singgung persekutuan.dalam dan luar | 1.Mengkaji dan mendiskusikan Garis singgung persekutuan.dalam dan luar 2.menggambar Garis singgung persekutuan.dalam dan luar | Garis singgung ligkaran | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-Susanto Geomeri-Sujadi | Tugas Portafolio Tes essay |
12. Melukis segitiga dan lingkaran | Setelah mengikuti perkuliahan ini, diharapkan mampu Melukis segitiga dan lingkaran dalam ,segitiga dan lingkaran luar Letak dua lingkaran.. | Mengkaji dan melukis segitiga dan lingkaran dalam ,segitiga dan lingkaran luar Letak dua lingkaran.. | segitiga dan lingkaran | 100’ | OHP,LCD, Laptop,Benda-benda dalam ruang atau di luar ruang Geometri-susanto Geomeri-Sujadi Ilmu Ukur Melukis | Tugas Portafolio Tes essay Melukis |
KOMPETENSI DASAR GEOMETRI
| Standart Kompetensi | Kompetensi Dasar | Isi |
| Geometri memahami hubungan garis dengan garis ,garis dengan sudut,sudut dengan sudut serta menetukan ukurannya. memahami konsep segiempat dan segitiga serta menentukan ukurannya. | -menentukan hubungan antara dua garis serta besar dan jenis sudut. -memahami sifat-2 sudut yang terbentuk jika dua garis berpo tongan atau dua garis sejajar berpotongan dengan garis lain. -mengidentifikasi sifat-2 segitiga berdasarkan sisi dan sudutnya. -mengidentifikasi sifat-2 persegi panjang,persegi trapesium, jajaran genjang,belah ketupat dan layang-2. -menghitung keliling dan luas bangun segitiga dan segiempat serta menggunakannyadan pemecahan. | classifying angles angles and intersecting lines triangles quadrilaterals area of polygon and circles area formulas |
PANDANGAN PADA GEOMETRI
Ilmuwan Muslim dalam Bidang Geometri
Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia.
Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.
Di era kekhalifahan Islam, para saintis Muslim pun turut mengembangkan geometri. Bahkan, pada era abad pertengahan, geometri dikuasai para matematikus Muslim. Tak heran jika peradaban Islam turut memberi kontribusi penting bagi pengembangan cabang ilmu matematika modern itu.
Pencapaian peradaban Islam di era keemasan dalam bidang geometri sungguh sangat menakjubkan. Betapa tidak. Para peneliti di Amerika Serikat (AS) menemukan fakta bahwa di abad ke-15 M, para cendekiawan Muslim telah menggunakan pola geometris mirip kristal. Padahal, pakar matematika modern saja baru menemukan pla desain geometri itu pada abad ke-20 M.
Menurut studi yang diterbitkan dalam Jurnal Science itu, para matematikus Muslim di era keemasan telah memperlihatkan satu terobosan penting dalam bidang matematika dan desain seni pada abad ke-12 M. "Ini amat mengagumkan," tutur Peter Lu, peneliti dari Harvard, AS seperti dikutip BBC .
Peter Lu mengungkapkan, para matemetikus dan desainer Muslim di era kekhalifahan telah mamapu membuat desain dinding, lantai dan langit-langit dengan menggunakan tegel yang mencerminkan pemakaian rumus matematika yang begitu canggih. ''Teori itu baru ditemukan 20 atau 30 tahun lalu," ungkapnya.
Desain dalam seni Islam menggunakan aturan geometri dengan bentuk mirip kristal yang menggunakan bentuk poligon simetris untuk menciptakan satu pola. Hingga saat ini, pandangan umum yang beredar adalah pola rumit berbentuk bintang dan poligon dalam desain seni Islam dicapai dengan menggunakan garis zigzag yang digambar dengan mistar dan kompas.
"Anda bisa melihat perkembangan desain geometis yang canggih ini. Jadi mereka mulai dengan pola desain yang sederhana, dan lama-lama menjadi lebih kompleks," tambah Peter Lu. Penemuan Peter Lu itu membuktikan bahwa peradaban Islam telah mampu mencapai kemajuan yang luar biasa dalam bidang geometri.
Lantas bagaimana matematikus Islam mengembangkan geometri? Pada abad ke-9 M, matematikus Muslim bernama Khawarizmi telah mengembangkan geometri. Awalnya, ilmu geometri dipelajari sang matematikus terkemuka dari buku berjudul The Elements karya Euklid. Ia pun kemudian mengembangkan geometri dan menemukan beragam hal yang baru dalam studi tentang hubungan di dalam ruang.
Al-Khawarizmi menciptakan istilah secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dia juga menemukan Sistem Nomor yang sangat penting bagi sistem nomor modern. Dalam Sistem Nomor itu, al-Khawarizmi memuat istilah Cosinus, Sinus dan Tangen untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, teorema segitiga sama kaki, perhitungan luas segitiga, segi empat maupun perhitungan luas lingkaran dalam geometri.
Penelitian al-Khawarizmi dianggap sebagai sebuah revolusi besar dalam dunia matematika. Dia menghubungkan konsep-konsep geometri dari matematika Yunani kuno ke dalam konsep baru. Penelitian-penelitian al-Khawarizmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional/irasional, besaran-besaran geometri diperlakukan sebagai objek-objek aljabar.
Penelitian al-Khawarizmi memungkinkan dilakukannya aplikasi sistematis dari aljabar. Sebagai contoh, aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-penelitian ini mendasari terciptanya aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan.
Konsep geometri dalam matematika yang diperkenalkan oleh al-Khawarizmi juga sangat penting dalam bidang astronomi. Pasalnya Astronomi merupakan ilmu yang mengkaji tentang bintang-bintang termasuk kedudukan, pergerakan, dan penafsiran yang berkaitan dengan bintang. Guna menghitung kedudukan bintang terhadap bumi membutuhkan perhitungan geometri.
Ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Thabit Ibnu Qurra. Matematikus Muslim yang dikenal dengan panggilan Thebit itu juga merupakan salah seorang ilmuwan Muslim terkemuka di bidang Geometri. Dia melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, maupun geometri non-Eucledian.
Salah satu karya Thabit yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul The composition of Ratios ( Komposisi rasio). Dalam buku tersebut, Thabit mengaplikasikan antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. Pemikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan Yunani kuno dalam bidang geometri.
Sumbangan Thabit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori Pitagoras di mana dia mengembangkannya dari segi tiga siku-siku khusus ke seluruh segi tiga siku-siku. Thabit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membentuk bayangan matahari.
Selain itu, ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Ibnu al-Haitham. Dalam bidang geometri, Ibnu al-Haitham mengembangkan analitis geometri yang menghubungkan geometri dengan aljabar. Selain itu, dia juga memperkenalkan konsep gerakan dan transformasi dalam geometri.
Teori Ibnu al-Haitham dalam bidang persegi merupakan teori yang pertama kali dalam geometri eliptik dan geometri hiperbolis. Teori ini dianggap sebagai tanda munculnya geometri non- Euclidean. Karya-karya Ibn al-Haitham itu mempengaruhi karya para ahli geometri Persia seperti Nasir al-Din al Tusi dan Omar Khayyam.
Namun pengaruh Ibn al-Haytham tidak hanya terhenti di wilayah Asia saja. Sejumlah ahli geometri Eropa seperti Gersonides, Witelo, Giovanni Girolamo Saccheri, serta John Wallis pun terpengaruh pemikiran al-Haitham. Salah satu karyanya yang terkemuka dalam ilmu geometri adalah Kitab al-Tahlil wa al'Tarkib.
Cendekiawan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Abu NasrNasr Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau biasa disebut Abu Nasr Mansur. Ia merupakana salah satu ahli geometri yang mendalami spherical geometri (geometri yang berhubungan dengan astronomi). Spherical geometri ini sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sulit di dalam astonomi Islam.
Umat Islam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat, Ramadhan, serta hari raya baik Idul Fitri maupun Idul Adha. Dengan bantuan spherical geometri, kini umat Muslimbisa memperkirakan waktu-waktu tersebut dengan mudah. Itulah salah satu warisan ilmu Abu Nasr Mansur bagi kita saat ini.
Para Pengembang Geometri
* Al-Khawarizmi
Ia dilahirkan di Bukhara dan hidup pada awal pertengahan abad ke-9 M. Dia merupakan cendekiawan Islam yang berpengetahuan luas. Dia tidak hanya ahli di bidang geometri tetapi sejumlah ilmu lainnya seperti bidang falsafah, logika, aritmatika, musik, kimia, maupun sejarah Islam.
Ketika masih muda, al-Khawarizmi bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun di Bait al-Hikmah
Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan Khalifah al-Ma’mun. Sejawaran Sains George Sarton mengatakan, “Pencapaian-pencapaian yang tertinggi telah diperoleh oleh orang-orang Timur (maksudnya adalah Al-Khawarizmi).''
* Thabit Ibn Qurra
Thabit lahir di Harran, Mesopotamia yang sekarang merupakan wilayah Turki. Thabit belajar di Bait al-Hikmah yang berada di kota Baghdad. Di pusat keunggulan sains Islam pada era Dinasti Abbasiyah itu, Thabit mempelajari berbagai bidang keilmuan termasuk geometri, astronomi, astrologi, mekanik, pengobatan, mau[un filsafat.
Thabit berbahasa Syiria, namun dia juga mahir berbahasa Yunani. Dia banyak melakukan penerjemahan karya-karya ilmuwan Barat seperti Apollonius, Archimedes, Euclid, dan Ptolemy. Thabit juga dekat dengan Kalifah Abbasiyah Al-Mu'tadid yang memerintah pada tahun 892–902 M.
* Ibnu al-Haitham
Ibnu Haytham lahir di Basra pada tahun 965 M. Para ilmuwan Barat menyebut Haitham sebagai Alhazen. Dia mulai pendidikannya di Basrah sebelum dilantik menjadi pegawai pemerintah di kota kelahirannya tersebut. Namun tak lama kemudian, dia memutuskan untuk pindah ke Baghdad.
Kecintaannya kepada ilmu dan rasa hausnya akan pengalaman membuatnya pergi ke Mesir. Ketika berada di Mesir, Haytham mendalami ilmu matematika dan falak. Haitham tidak hanya ahli dalam bidang geometri, tetapi juga dalam bidang falak, pengobatan, maupun filsat. Dia banyak pula melakukan penyelidikan mengenai cahaya dan memberikan inspirasi bagi para ilmuwan Barat seperti astronom Jerman Johannes Kepler dalm menciptakan mikroskop maupun teleskop.
* Abu Nasr
Abu Nasr merupakan ahli geometri yang lahir di Gilan, Persia. Ia anak dari keluarga penguasa Khwarizmi yang hidup antara tahun 960-1036 M. Dia juga murid dari ahli matematika Abu'l Wafa dan teman baik ahli matematika muslim Al-Biruni. Dia dan Biruni sering melakukan kolaborasi yang penting bagi perkembangan matematika. dya/hri/rpbk di Baghdad. Dia juga bekerja dalam sebuah observatori guna mempelajari matematika dan astronomi di era kekuasaan Dinasti Abbasiyah.
Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.
Di era kekhalifahan Islam, para saintis Muslim pun turut mengembangkan geometri. Bahkan, pada era abad pertengahan, geometri dikuasai para matematikus Muslim. Tak heran jika peradaban Islam turut memberi kontribusi penting bagi pengembangan cabang ilmu matematika modern itu.
Pencapaian peradaban Islam di era keemasan dalam bidang geometri sungguh sangat menakjubkan. Betapa tidak. Para peneliti di Amerika Serikat (AS) menemukan fakta bahwa di abad ke-15 M, para cendekiawan Muslim telah menggunakan pola geometris mirip kristal. Padahal, pakar matematika modern saja baru menemukan pla desain geometri itu pada abad ke-20 M.
Menurut studi yang diterbitkan dalam Jurnal Science itu, para matematikus Muslim di era keemasan telah memperlihatkan satu terobosan penting dalam bidang matematika dan desain seni pada abad ke-12 M. "Ini amat mengagumkan," tutur Peter Lu, peneliti dari Harvard, AS seperti dikutip BBC .
Peter Lu mengungkapkan, para matemetikus dan desainer Muslim di era kekhalifahan telah mamapu membuat desain dinding, lantai dan langit-langit dengan menggunakan tegel yang mencerminkan pemakaian rumus matematika yang begitu canggih. ''Teori itu baru ditemukan 20 atau 30 tahun lalu," ungkapnya.
Desain dalam seni Islam menggunakan aturan geometri dengan bentuk mirip kristal yang menggunakan bentuk poligon simetris untuk menciptakan satu pola. Hingga saat ini, pandangan umum yang beredar adalah pola rumit berbentuk bintang dan poligon dalam desain seni Islam dicapai dengan menggunakan garis zigzag yang digambar dengan mistar dan kompas.
"Anda bisa melihat perkembangan desain geometis yang canggih ini. Jadi mereka mulai dengan pola desain yang sederhana, dan lama-lama menjadi lebih kompleks," tambah Peter Lu. Penemuan Peter Lu itu membuktikan bahwa peradaban Islam telah mampu mencapai kemajuan yang luar biasa dalam bidang geometri.
Lantas bagaimana matematikus Islam mengembangkan geometri? Pada abad ke-9 M, matematikus Muslim bernama Khawarizmi telah mengembangkan geometri. Awalnya, ilmu geometri dipelajari sang matematikus terkemuka dari buku berjudul The Elements karya Euklid. Ia pun kemudian mengembangkan geometri dan menemukan beragam hal yang baru dalam studi tentang hubungan di dalam ruang.
Al-Khawarizmi menciptakan istilah secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dia juga menemukan Sistem Nomor yang sangat penting bagi sistem nomor modern. Dalam Sistem Nomor itu, al-Khawarizmi memuat istilah Cosinus, Sinus dan Tangen untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, teorema segitiga sama kaki, perhitungan luas segitiga, segi empat maupun perhitungan luas lingkaran dalam geometri.
Penelitian al-Khawarizmi dianggap sebagai sebuah revolusi besar dalam dunia matematika. Dia menghubungkan konsep-konsep geometri dari matematika Yunani kuno ke dalam konsep baru. Penelitian-penelitian al-Khawarizmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional/irasional, besaran-besaran geometri diperlakukan sebagai objek-objek aljabar.
Penelitian al-Khawarizmi memungkinkan dilakukannya aplikasi sistematis dari aljabar. Sebagai contoh, aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-penelitian ini mendasari terciptanya aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan.
Konsep geometri dalam matematika yang diperkenalkan oleh al-Khawarizmi juga sangat penting dalam bidang astronomi. Pasalnya Astronomi merupakan ilmu yang mengkaji tentang bintang-bintang termasuk kedudukan, pergerakan, dan penafsiran yang berkaitan dengan bintang. Guna menghitung kedudukan bintang terhadap bumi membutuhkan perhitungan geometri.
Ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Thabit Ibnu Qurra. Matematikus Muslim yang dikenal dengan panggilan Thebit itu juga merupakan salah seorang ilmuwan Muslim terkemuka di bidang Geometri. Dia melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, maupun geometri non-Eucledian.
Salah satu karya Thabit yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul The composition of Ratios ( Komposisi rasio). Dalam buku tersebut, Thabit mengaplikasikan antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. Pemikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan Yunani kuno dalam bidang geometri.
Sumbangan Thabit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori Pitagoras di mana dia mengembangkannya dari segi tiga siku-siku khusus ke seluruh segi tiga siku-siku. Thabit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membentuk bayangan matahari.
Selain itu, ilmuwan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Ibnu al-Haitham. Dalam bidang geometri, Ibnu al-Haitham mengembangkan analitis geometri yang menghubungkan geometri dengan aljabar. Selain itu, dia juga memperkenalkan konsep gerakan dan transformasi dalam geometri.
Teori Ibnu al-Haitham dalam bidang persegi merupakan teori yang pertama kali dalam geometri eliptik dan geometri hiperbolis. Teori ini dianggap sebagai tanda munculnya geometri non- Euclidean. Karya-karya Ibn al-Haitham itu mempengaruhi karya para ahli geometri Persia seperti Nasir al-Din al Tusi dan Omar Khayyam.
Namun pengaruh Ibn al-Haytham tidak hanya terhenti di wilayah Asia saja. Sejumlah ahli geometri Eropa seperti Gersonides, Witelo, Giovanni Girolamo Saccheri, serta John Wallis pun terpengaruh pemikiran al-Haitham. Salah satu karyanya yang terkemuka dalam ilmu geometri adalah Kitab al-Tahlil wa al'Tarkib.
Cendekiawan Muslim lainnya yang berjasa mengembangkan geometri adalah Abu NasrNasr Mansur ibnu Ali ibnu Iraq atau biasa disebut Abu Nasr Mansur. Ia merupakana salah satu ahli geometri yang mendalami spherical geometri (geometri yang berhubungan dengan astronomi). Spherical geometri ini sangat penting untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sulit di dalam astonomi Islam.
Umat Islam perlu menentukan waktu yang tepat untuk shalat, Ramadhan, serta hari raya baik Idul Fitri maupun Idul Adha. Dengan bantuan spherical geometri, kini umat Muslimbisa memperkirakan waktu-waktu tersebut dengan mudah. Itulah salah satu warisan ilmu Abu Nasr Mansur bagi kita saat ini.
Para Pengembang Geometri
* Al-Khawarizmi
Ia dilahirkan di Bukhara dan hidup pada awal pertengahan abad ke-9 M. Dia merupakan cendekiawan Islam yang berpengetahuan luas. Dia tidak hanya ahli di bidang geometri tetapi sejumlah ilmu lainnya seperti bidang falsafah, logika, aritmatika, musik, kimia, maupun sejarah Islam.
Ketika masih muda, al-Khawarizmi bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun di Bait al-Hikmah
Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan Khalifah al-Ma’mun. Sejawaran Sains George Sarton mengatakan, “Pencapaian-pencapaian yang tertinggi telah diperoleh oleh orang-orang Timur (maksudnya adalah Al-Khawarizmi).''
* Thabit Ibn Qurra
Thabit lahir di Harran, Mesopotamia yang sekarang merupakan wilayah Turki. Thabit belajar di Bait al-Hikmah yang berada di kota Baghdad. Di pusat keunggulan sains Islam pada era Dinasti Abbasiyah itu, Thabit mempelajari berbagai bidang keilmuan termasuk geometri, astronomi, astrologi, mekanik, pengobatan, mau[un filsafat.
Thabit berbahasa Syiria, namun dia juga mahir berbahasa Yunani. Dia banyak melakukan penerjemahan karya-karya ilmuwan Barat seperti Apollonius, Archimedes, Euclid, dan Ptolemy. Thabit juga dekat dengan Kalifah Abbasiyah Al-Mu'tadid yang memerintah pada tahun 892–902 M.
* Ibnu al-Haitham
Ibnu Haytham lahir di Basra pada tahun 965 M. Para ilmuwan Barat menyebut Haitham sebagai Alhazen. Dia mulai pendidikannya di Basrah sebelum dilantik menjadi pegawai pemerintah di kota kelahirannya tersebut. Namun tak lama kemudian, dia memutuskan untuk pindah ke Baghdad.
Kecintaannya kepada ilmu dan rasa hausnya akan pengalaman membuatnya pergi ke Mesir. Ketika berada di Mesir, Haytham mendalami ilmu matematika dan falak. Haitham tidak hanya ahli dalam bidang geometri, tetapi juga dalam bidang falak, pengobatan, maupun filsat. Dia banyak pula melakukan penyelidikan mengenai cahaya dan memberikan inspirasi bagi para ilmuwan Barat seperti astronom Jerman Johannes Kepler dalm menciptakan mikroskop maupun teleskop.
* Abu Nasr
Abu Nasr merupakan ahli geometri yang lahir di Gilan, Persia. Ia anak dari keluarga penguasa Khwarizmi yang hidup antara tahun 960-1036 M. Dia juga murid dari ahli matematika Abu'l Wafa dan teman baik ahli matematika muslim Al-Biruni. Dia dan Biruni sering melakukan kolaborasi yang penting bagi perkembangan matematika. dya/hri/rpbk di Baghdad. Dia juga bekerja dalam sebuah observatori guna mempelajari matematika dan astronomi di era kekuasaan Dinasti Abbasiyah.
PEMBELAJARAN AWAL
Melanjutkan posting sebelumnya tentang dasar rumus phytagoras, berikut soal kedua yang merupakan penerapan dari rumus tersebut
.
Diketahui P1 = (1,1) dan P2 = (3,3). Dari yang diketahui ini kita sudah bisa menjawab pertanyaan c dan d. Sedangkan dengan membuat gambar seperti diatas akan memeudahkan kita iuntuk melihat koordinat titik T yaitu (3,1).
Untuk pertanyaan b, maka kita perlu menerapkan rumus phytagoras di posting sebelumnya.
.
Diketahui P1 = (1,1) dan P2 = (3,3). Dari yang diketahui ini kita sudah bisa menjawab pertanyaan c dan d. Sedangkan dengan membuat gambar seperti diatas akan memeudahkan kita iuntuk melihat koordinat titik T yaitu (3,1). Untuk pertanyaan b, maka kita perlu menerapkan rumus phytagoras di posting sebelumnya.
Langganan:
Postingan (Atom)